Ziegenroblem explained

Im Film 21, den ich neulich gesehen habe wurde ein mathematisches Problem erwähnt, welches mir zum ersten Mal auf dem Vortrag ‚Absurde Mathematik‚ von Anoushirvan Dehghani, der auf dem 24C3 gehalten wurde begegnet ist.

Es geht dabei um das sogenannte Ziegenproblem. Die Situation dabei ist folgende:

Ihr spielt ein Spiel. Dabei habt ihr die Chance ein Auto zu gewinnen. Das ist toll 🙂
Und so funktioniert das Spiel: Ihr steht vor drei Toren. Hinter zwei dieser drei Tore befindet sich eine Ziege. Hinter dem dritten aber ist euer Auto.

Nun sollt ihr eine Tür auswählen. Der Spielleiter öffnet dann eine andere Tür hinter der eine Ziege steht.

Er gibt euch dann die Chance erneut zu wählen. Entweder bleibt ihr bei eurer Tür oder ihr ändert eure Wahl.

Die Frage ist nun – was bringt euch mehr? Die Wahl zu ändern oder dabei zu bleiben?

Ich habe das ganze mal in einem Programm modelliert, welches diesen Versuch hunderttausendmal mit Wechsel und hunderttausendmal ohne Wechsel durchführt. (Man kann sich das Programm hier anschauen)

Das Ergebnis ist nun folgendes:

Häufigkeit ohne Wechsel: 32942
Häufigkeit mit Wechsel: 66922

Das heißt die Chance mit Wechsel zu gewinnen liegt bei circa 2/3, während die Chance ohne Wechsel bei 1/3 liegt.

Das verwirrt oder? Man würde doch eine gleiche Häufigkeit erwarten. Also – warum ist das so?

Schauen wir uns doch mal die Wahrscheinlichkeiten anhand eines Baumes an.
A, B und C sollen die Tore sein. Der Spieler wählt das Tor A (lila) aus. Der Spielleiter öffnet dann das Tor C hinter dem eine Ziege steht.

Das Ziegenproblem als Baum

Alle drei Tore haben zunächst die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit. Sie ist 1/3. Wählt der Spieler nun ein Tor, so hat dieses die Wahrscheinlichkeit 1/3, die anderen Tore haben zusammengenommen die Wahrscheinlichkeit 2/3.

Nun wird eines der beiden anderen Tore als falsch gekennzeichnet (hier Tor C) und entfällt somit. Damit hat das eine Tor, welches noch übrig bleibt von den beiden anderen (hier als B gekennzeichnet) die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3, während das Tor welches man zu Beginn ausgewählt hat noch immer die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 hat.

Diese Zahlen bestätigen sich auch durch das Programm. Irgendwie verblüffend, wie sehr die Mathematik manchmal der Intuition widerspricht.

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Über kenny1987

Hallo Leute, ich bin kenny. Ich studiere momentan Informatik und werde über alles interessante was mir so über den Weg läuft bloggen. Seien es irgendwelche News oder aktuelle Entwicklungen von meinen Anwendungen. Viel Spaß :)
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6 Antworten zu Ziegenroblem explained

  1. wusel dusel schreibt:

    super eklährt alter! wir sehen us am donnerstag iwder in der uni, und denk daran mir das geografiebuch wider mitzubringen! küsschen

  2. kenny1987 schreibt:

    Ähm danke. Ich kenn dich zwar nicht – aber danke *confused*

    Ich nehm ma stark an, dass das Spam ist. Die Pornlinks als Mailadresse und HP wurden entfernt.

  3. Paul schreibt:

    Hier mal kein Spam:

    Film und Vortrag gesehen, das Problem ist einfach genial 😀 Aber super erklaert!

  4. intelligert schreibt:

    Falsch. Es kommt nicht drauf an ob man wechselt oder nicht. Weil du nicht erwähnt hast, ob der Moderator immer einen Wechsel anbietet oder nicht. Student halt. Mehr Infos gibt’s in meinem neuesten Blog-Eintrag: http://intelligert.wordpress.com/2008/09/30/mongi-hall-problem/

  5. kenny1987 schreibt:

    Magst du vllt den Artikel noch mal lesen bevor du so überheblich und herablassend redest?

    „Er (Der Spielleiter) gibt euch dann die Chance erneut zu wählen. Entweder bleibt ihr bei eurer Tür oder ihr ändert eure Wahl.“

    Eigentlich klar oder?

    Aber vielleicht bin ich auch nur zu dumm zu verstehen was du meinst. Ich bin schließlich nur ein Student..

  6. intelligert schreibt:

    Nochmals: Der Kandidat muss VOR seiner Wahl wissen, dass ihn der Spielleiter wechseln lässt. das ist eine Grundbedingung, ohne die der Kandidat NICHT davon ausgehen kann, seine Chancen um 1/3 zu steigern. Weil, sonst könnte der Moderator nur einen Wechsel anbieten, wenn der Kandidat das Auto gewählt hat. Dann würden seine Siegchancen bei einem Wechsel um 1/3 sinken.

    Eigentlich klar oder?

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