Kennys blog

Im Film 21, den ich neulich gesehen habe wurde ein mathematisches Problem erwähnt, welches mir zum ersten Mal auf dem Vortrag ‘Absurde Mathematik‘ von Anoushirvan Dehghani, der auf dem 24C3 gehalten wurde begegnet ist.

Es geht dabei um das sogenannte Ziegenproblem. Die Situation dabei ist folgende:

Ihr spielt ein Spiel. Dabei habt ihr die Chance ein Auto zu gewinnen. Das ist toll
Und so funktioniert das Spiel: Ihr steht vor drei Toren. Hinter zwei dieser drei Tore befindet sich eine Ziege. Hinter dem dritten aber ist euer Auto.

Nun sollt ihr eine Tür auswählen. Der Spielleiter öffnet dann eine andere Tür hinter der eine Ziege steht.

Er gibt euch dann die Chance erneut zu wählen. Entweder bleibt ihr bei eurer Tür oder ihr ändert eure Wahl.

Die Frage ist nun - was bringt euch mehr? Die Wahl zu ändern oder dabei zu bleiben?

Ich habe das ganze mal in einem Programm modelliert, welches diesen Versuch hunderttausendmal mit Wechsel und hunderttausendmal ohne Wechsel durchführt. (Man kann sich das Programm hier anschauen)

Das Ergebnis ist nun folgendes:

Häufigkeit ohne Wechsel: 32942
Häufigkeit mit Wechsel: 66922

Das heißt die Chance mit Wechsel zu gewinnen liegt bei circa 2/3, während die Chance ohne Wechsel bei 1/3 liegt.

Das verwirrt oder? Man würde doch eine gleiche Häufigkeit erwarten. Also - warum ist das so?

Schauen wir uns doch mal die Wahrscheinlichkeiten anhand eines Baumes an.
A, B und C sollen die Tore sein. Der Spieler wählt das Tor A (lila) aus. Der Spielleiter öffnet dann das Tor C hinter dem eine Ziege steht.

Alle drei Tore haben zunächst die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit. Sie ist 1/3. Wählt der Spieler nun ein Tor, so hat dieses die Wahrscheinlichkeit 1/3, die anderen Tore haben zusammengenommen die Wahrscheinlichkeit 2/3.

Nun wird eines der beiden anderen Tore als falsch gekennzeichnet (hier Tor C) und entfällt somit. Damit hat das eine Tor, welches noch übrig bleibt von den beiden anderen (hier als B gekennzeichnet) die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3, während das Tor welches man zu Beginn ausgewählt hat noch immer die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 hat.

Diese Zahlen bestätigen sich auch durch das Programm. Irgendwie verblüffend, wie sehr die Mathematik manchmal der Intuition widerspricht.